弄清楚一個群包含哪些子群是理解其結構的一種方法。例如，子組 Z6 是 {0}、{0, 2, 4} 和 {0, 3} – 平凡子群、2 的倍數和 3 的倍數。 D6，旋轉形成子群，但反射則不然。這是因為按順序執行的兩次反射會產生旋轉，而不是反射，就像兩個奇數相加會產生偶數一樣。
某些類型的子群（稱為「正常」子群）對數學家特別有幫助。在交換群中，所有子群都是正規的，但更一般而言，這並不總是正確的。這些子群保留了一些最有用的交換性質，而不強迫整個群體具有交換性。如果可以識別正規子群的列表，則可以將群分解為多個分量，就像整數可以分解為質數的乘積一樣。沒有正規子群的群稱為簡單群，不能進一步分解，就像素數不能因式分解。團體 Zn 僅當 n 是質數－例如，2 和 3 的倍數形成正規子群 Z6。
然而，簡單的群體並不總是那麼簡單。 「這是數學中最大的用詞不當，」哈特說。 1892 年，數學家 Otto Hölder 提議研究人員收集所有可能的有限單群的完整清單。 （諸如整數之類的無限群形成了自己的研究領域。）
事實證明，幾乎所有有限單群要么看起來像 Zn （對於質數 n）或落入其他兩個家庭之一。還有 26 個例外，稱為零星群體。確定它們並表明沒有其他可能性花了一個多世紀的時間。
最大的零星群體，恰當地稱為怪物群體，於 1973 年被發現。54 元素並表示近 200,000 維空間中的幾何旋轉。 「這東西竟然被人類發現了，這真是太瘋狂了，」哈特說。
到 20 世紀 80 年代，霍爾德要求的大部分工作似乎已經完成，但很難表明不再有零星團體徘徊在那裡。 1989 年，當社區在 20 世紀 80 年代初的一份 800 頁證據中發現空白時，分類工作被進一步推遲。 2004 年，新的證明終於發表，完成了分類。
現代數學中的許多結構（例如環、域和向量空間）都是在向群組中添加更多結構時創建的。在環中，您可以進行乘法、加法和減法；在欄位中，您也可以劃分。但在所有這些更複雜的結構之下是相同的原始群思想及其四個公理。 「在這個結構中，通過這四個規則，可能實現的豐富性是令人興奮的，」哈特說。
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